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什么是拓扑优化中的水平集法

时间：2024-06-04 16:24:58

水平集法(level-set)在本人刚接触拓扑优化那会就听闻，但是一直搞不懂具体原理与细节，比如下图文章中对水平集的讲解

上面文章为Fabrication-constrained nanophotonic inverse design，看了半天，最重要的问题， $\\phi(x,y)$ 函数是啥？怎么取？这才是最关键的问题，然而一直似乎没有文章或者资料详细解释这个！！(有相关资料的朋友求提供)
不过没关系，最近总算成功理解了这个所谓的水平集法的各种细节(感谢各方大佬的耐心教导)，写下本文作为记录。

首先从无人细谈的 $\\phi(x,y)$ 开始，它其实就是一个自定义函数，有多自定义呢？就是你随便random一个矩阵都可以，没错就是形如 randn(Nx,Ny) 这样生成的矩阵。接下来，再来看方程
$\\phi_t+v(x,y)|\ abla\\phi|=0\\\\$ 首先是 $\\phi_t$ ，说明 $\\phi$ 不仅是 x 跟 y 的函数，还是时间 t 的函数，不过这不重要。接着是 $\ abla\\phi$ ，这个要怎么求呢？这里就需要使用到计算物理的知识了，因为
$\ abla\\phi=\\frac{\\partial\\phi}{\\partial{x}}\\overrightarrow{e_x}+\\frac{\\partial\\phi}{\\partial{y}}\\overrightarrow{e_y}\\\\$ 计算物理里面，微分和积分都是用数值的方式做的，因此上面的表达式也是用数值进行计算
$\ abla\\phi=\\frac{\\partial\\phi}{\\partial{x}}\\overrightarrow{e_x}+\\frac{\\partial\\phi}{\\partial{y}}\\overrightarrow{e_y}=\\frac{\\phi(x+\\Delta{x},y)-\\phi(x,y)}{\\Delta{x}}\\overrightarrow{e_x}+\\frac{\\phi(x,y+\\Delta{y})-\\phi(x,y)}{\\Delta{y}}\\overrightarrow{e_y}\\\\$ 所以这里直接对生成进行差分就可以了，而函数 $v(x,y)$ 就是对目标函数求导得到的梯度(这个近期可能也会写一篇文章谈谈)，所以最后就是求出了
$\\phi_t=-v(x,y)|\ abla\\phi|\\\\$ 然后就是用这个求出来的 $\\phi_t$ 更新 $\\phi(x,y)$
$\\phi(t+\\Delta{t})=\\phi(t)+\\Delta{t}\\phi_t=\\phi(t)-\\Delta{t}{\\cdot}v(x,y)|\ abla\\phi|\\\\$ 因为水平集法的 $\\phi(x,y)$ 用和材料介电常数分布之间的关系为
$\\varepsilon(x,y)=\\left\\{ \\begin{array}{lcl} \\varepsilon_1,& \\phi(x,y) \\leq0\\\\ \\varepsilon_2,& \\phi(x,y) >0\\\\ \\end{array}\\right.\\\\$ 所以使用水平集一个好处是结构始终是二值化的，无需再对介电常数进行处理。